Centres étrangers, mars 2023, sujet 2 (adapté)

La figure ci-dessous correspond à la maquette d'un projet architectural. 
Il s'agit d'une maison de forme cubique $(\mathrm{ABCDEFGH})$ accolée à un garage de forme cubique $(\mathrm{BIJKLMNO})$ où  $\text{L}$  est le milieu du segment $[\mathrm{BF}]$ et $\text{K}$ est le milieu du segment $[\mathrm{BC}]$ .
Le garage est surmonté d'un toit de forme pyramidale  $(\mathrm{LMNOP})$  de base carrée $\mathrm{LMNO}$ et de sommet $\text{P}$ positionné sur la façade de la maison.

On munit l'espace du repère orthonormé $(\text{A};\overrightarrow{ı},\overrightarrow{ȷ},\overrightarrow{k})$ , avec $\overrightarrow{ı}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{ȷ}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\text{AD}}$ et $\overrightarrow{k}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\text{AE}}$ .

1. Par lecture graphique, donner les coordonnées des points $\text{H}$ , $\text{M}$ et $\text{N}$ .

L'architecte place le point $\text{P}$ à l’intersection de la droite $(\mathrm{HM})$ et du plan $(\mathrm{BCF})$ . On admet que les coordonnées de  $\text{P}$  sont $(2;{\displaystyle \frac{2}{3}};{\displaystyle \frac{4}{3}})$ .

2. a. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{\text{PM}}\cdot \overrightarrow{\text{PN}}$ .
    b. Calculer la distance $\mathrm{PM}$ .
On admet que la distance $\mathrm{PN}$ est égale à ${\displaystyle \frac{\sqrt{11}}{3}}$ .
    c. Pour satisfaire à des contraintes techniques, le toit ne peut être construit que si l'angle $\widehat{\text{MPN}}$ ne dépasse pas $55°$ . Le toit pourra-t-il être construit ?